- Αναμειγνύουμε το αλεύρι μαζί με το αλάτι σε ένα μεγάλο μπολ και κάνουμε μια λακκούβα στο κέντρο.
- Σπάμε τα αυγά στη λακκούβα.
- Προσθέτουμε το ελαιόλαδο.
- Με ένα πιρούνι, δουλεύουμε το αλεύρι μέσα στο υγρό μέχρι να σχηματιστεί μια κολλώδης ζύμη.
- Ζυμώνουμε μέσα στο μπολ με τα χέρια και μεταφέρουμε σε μια αλευρωμένη επιφάνεια για να τη ζυμώσουμε κι άλλο, μέχρι να γίνει μαλακιά και σχετικά σφιχτή.
- Τη βάζουμε σε ένα λαδωμένο μπολ και τη σκεπάζουμε με μια πλαστική μεμβράνη.
- Αφήνουμε τη ζύμη να σταθεί για 1 ώρα σε θερμοκρασία δωματίου.
- Στο μεταξύ, λιώνουμε το μισό βούτυρο σε ένα μεγάλο βαθύ τηγάνι σε μέτρια προς δυνατή φωτιά και σοτάρουμε τους κιμάδες μέχρι να αρχίζουν να αλλάζουν χρώμα.
- Προσθέτουμε τα κρεμμύδια.
- Ρίχνουμε λίγο αλάτι και πιπέρι.
- Ανακατεύουμε μέσα και την κανέλα.
- Μαγειρεύουμε μέχρι ο κιμάς να πάρει χρυσοκαφετί χρώμα, για 12 λεπτά.
- Βγάζουμε από τη φωτιά και αφήνουμε να κρυώσει.
- Βάζουμε μια μεγάλη κατσαρόλα με νερό να βράσει.
- Βουτυρώνουμε ένα στρογγυλό ταψί 40 εκ. Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 180oC.
- Μοιράζουμε τη ζύμη σε τέσσερις ίσες μπάλες.
- Αλευρώνουμε λίγο μια επιφάνεια εργασίας.
- Ανοίγουμε τη ζύμη σε τέσσερα φύλλα, στο ίδιο μέγεθος με το ταψί.
- Κόβουμε κάθε φύλλο ζύμης σε τέσσερις λωρίδες 10 εκ.
- Βουτάμε κάθε λωρίδα μέσα στο νερό φορώντας γάντια σιλικόνης ή με μια τρυπητή κουτάλα μέχρι να αλλάξει ελαφρά χρώμα, όπως τα ζυμαρικά, για 2 λεπτά.
- Τις βγάζουμε και τις στραγγίζουμε σε ένα μεγάλο σουρωτήρι.
- Τοποθετούμε τέσσερις λωρίδες επικαλυπτόμενες στον πάτο του βουτυρωμένου ταψιού.
- Πασπαλίζουμε από πάνω το 1/3 του κιμά.
- Ρίχνουμε από πάνω το 1/3 του τυριού.
- Επαναλαμβάνουμε με άλλες τέσσερις λωρίδες ζύμης, μια στρώση κιμά και μια στρώση τυρί.
- Τοποθετούμε άλλες τέσσερις λωρίδες ζύμης, τον υπόλοιπο κιμά και το υπόλοιπο τυρί.
- Ολοκληρώνουμε με τις υπόλοιπες τέσσερις λωρίδες ζύμης, πιέζοντάς τις λίγο στις άκρες για να σφραγίσουν.
- Χαράζουμε σε μερίδες την επιφάνεια της πίτας.
- Λιώνουμε το υπόλοιπο βούτυρο και το ρίχνουμε πάνω από την πίτα.
- Βάζουμε στον φούρνο.
- Μόλις η ζύμη πάρει χρυσοκαφετί χρώμα, ρίχνουμε τον ζωμό και το γάλα στην επιφάνεια.
- Ψήνουμε για 35-40 λεπτά περίπου, μέχρι να χρυσίσει η ζύμη και να γίνει η γέμιση.
- Βγάζουμε από τη φωτιά, αφήνουμε να κρυώσει λίγο και σερβίρουμε.
Στην Κω, χρειάζεται μια ασυνήθιστη τεχνική κατά την προετοιμασία της ζύμης: ποσάρεται λίγο πριν το ψήσιμο ώστε το τελικό προϊόν να είναι κάτι μεταξύ ζυμαρικού και φύλλου.